קיץ 2026 מועד א (שאלון 472) – שאלה 1סדרות 571 · שיעור 26

קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 1

שיעור 26: קיץ 2026 מועד א (שאלון 472) – שאלה 1

פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות (תרגול ברמת 4 יחידות)

1נוסח השאלה

2סעיף א – כמה הכינו ביום הראשון

3סעיף ב – כמה גלידת שוקולד הכינו סך הכול

4סעיף ג – מציאת d

5סעיף ד – כמה נמכר ביום הראשון

📄 נוסח השאלה

לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות גלידה להכין גלידת שוקולד. בכל יום הכינו בחנות 3 ק"ג גלידת שוקולד יותר מביום שלפניו. הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בחנות ביום הראשון וביום הרביעי הייתה 149 ק"ג.

א. מצאו כמה קילוגרמים של גלידת שוקולד הכינו בחנות ביום הראשון.

תהליך הכנת גלידת השוקולד נמשך 16 ימים סך הכול.

📄 נוסח השאלה · המשך

ב. מצאו כמה קילוגרמים סך הכול של גלידת שוקולד הכינו בחנות.

📄 נוסח השאלה · המשך

לקראת חופשת הקיץ החלו בחנות להכין גם גלידת וניל. בכל יום הכינו בחנות d ק"ג גלידת וניל יותר מביום שלפניו. תהליך הכנת גלידת הווניל נמשך 16 ימים סך הכול. ביום האחרון הכינו בחנות 115 ק"ג של גלידת וניל. הכמות סך הכול של גלידת הווניל שהכינו בחנות הייתה קטנה ב־480 ק"ג מן הכמות סך הכול של גלידת השוקולד שהכינו בה.

ג. מצאו את הערך של d.

📄 נוסח השאלה · המשך

לאחר שהסתיים תהליך הכנת גלידת השוקולד וגלידת הווניל, החלו למכור את שני סוגי הגלידה. המכירה נמשכה 5 ימים, ובמהלכה נמכרה כל הגלידה שהכינו בחנות. כמות הגלידה שנמכרה בכל יום הייתה גדולה פי 2 מן הכמות שנמכרה ביום שלפניו.

ד. מצאו כמה קילוגרמים של גלידה נמכרו ביום הראשון.

סעיף א – כמה הכינו ביום הראשון

בכל יום מוסיפים אותה כמות (3 ק"ג), ולכן הכמויות היומיות הן סדרה חשבונית עם הפרש d = 3.

נסמן ב־a₁ את הכמות (בק"ג) ביום הראשון. נבטא את היום הרביעי (n = 4) בעזרת נוסחת האיבר הכללי:

a₄ = a₁ + (4 − 1) · 3

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

a₄ = a₁ + 3 · 3

a₄ = a₁ + 9

הכמות ביום הראשון וביום הרביעי יחד היא 149 ק"ג:

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

a_n = a₁ + (n − 1)d

סעיף א – כמה הכינו ביום הראשון · המשך

הכמות ביום הראשון וביום הרביעי יחד היא 149 ק"ג:

a₁ + a₄ = 149

a₁ + a₁ + 9 = 149

2a₁ + 9 = 149

2a₁ = 149 − 9

2a₁ = 140

סעיף א – כמה הכינו ביום הראשון · המשך

2a₁ = 140

a₁ = 1402 = 70

✅ פתרון סופי: 70 ק"ג ביום הראשון

סעיף ב – כמה גלידת שוקולד הכינו סך הכול

התהליך נמשך 16 ימים, ולכן מחפשים את סכום 16 האיברים הראשונים: n = 16, a₁ = 70, d = 3.

S₁₆ = 162 · [2 · 70 + (16 − 1) · 3]

📐 סכום סדרה חשבונית

S₁₆ = 8 · [140 + 15 · 3]

S₁₆ = 8 · [140 + 45]

S₁₆ = 8 · 185

S₁₆ = 1480

📐 סכום סדרה חשבונית

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

סעיף ב – כמה גלידת שוקולד הכינו סך הכול · המשך

S₁₆ = 1480

✅ פתרון סופי: 1480 ק"ג גלידת שוקולד

סעיף ג – מציאת d

גם הכמויות של גלידת הווניל הן סדרה חשבונית (מוסיפים בכל יום d ק"ג). נסמן ב־b₁ את הכמות ביום הראשון.

נתון: n = 16, ביום האחרון b₁₆ = 115.

הסכום של הווניל קטן ב־480 מהסכום של השוקולד (שמצאנו בסעיף ב):

S₁₆ = 1480 − 480 = 1000

ידועים לנו האיבר האחרון והסכום, ולכן נשתמש בנוסחת הסכום עם האיבר הראשון והאחרון:

1000 = 162 · (b₁ + 115)

📐 סכום סדרה חשבונית

S_n = n2 · (a₁ + a_n)

סעיף ג – מציאת d · המשך

1000 = 162 · (b₁ + 115)

📐 סכום סדרה חשבונית

1000 = 8 · (b₁ + 115)

b₁ + 115 = 10008

b₁ + 115 = 125

b₁ = 125 − 115 = 10

עכשיו נציב בנוסחת האיבר הכללי את האיבר ה־16:

📐 סכום סדרה חשבונית

S_n = n2 · (a₁ + a_n)

סעיף ג – מציאת d · המשך

עכשיו נציב בנוסחת האיבר הכללי את האיבר ה־16:

b₁₆ = b₁ + (16 − 1)d

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

115 = 10 + 15d

115 − 10 = 15d

105 = 15d

d = 10515 = 7

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

a_n = a₁ + (n − 1)d

סעיף ג – מציאת d · המשך

d = 10515 = 7

✅ פתרון סופי: d = 7 (ק"ג ליום)

סעיף ד – כמה נמכר ביום הראשון

כל הגלידה נמכרה: שוקולד (סעיף ב) ועוד וניל (סעיף ג):

1480 + 1000 = 2480

בכל יום מכרו פי 2 מהיום הקודם, ולכן הכמויות שנמכרו הן סדרה הנדסית עם מנה q = 2, לאורך n = 5 ימים, וסכומה 2480. נסמן ב־a₁ את הכמות שנמכרה ביום הראשון.

2480 = a₁ · (2⁵ − 1)2 − 1

📐 סכום סדרה הנדסית

2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

2480 = a₁ · (32 − 1)1

📐 סכום סדרה הנדסית

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

סעיף ד – כמה נמכר ביום הראשון · המשך

2480 = a₁ · (32 − 1)1

2480 = 31 · a₁

a₁ = 248031 = 80

בדיקה: 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 = 2480 ✓

✅ פתרון סופי: 80 ק"ג ביום הראשון

📌 סיכום התשובות

סעיף א

70 ק"ג

סעיף ב

1480 ק"ג

סעיף ג

d = 7

סעיף ד

80 ק"ג

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא